Duration et sensibilité
Qu’est-ce que la duration ?
La duration est une mesure de la sensibilité du prix d’un titre à revenu fixe (obligation, bon du Trésor, etc.) aux variations des taux d’intérêt. Elle exprime, en années, le moment moyen où les flux futurs (coupons et remboursement du capital) sont reçus, pondérés par leur poids dans le prix total.
Elle permet d’estimer l’impact d’une variation de taux sur le prix de l’obligation :
- Une duration de 5 signifie que le prix de l’obligation baissera d’environ 5 % si les taux montent de 1 %.
- Et inversement, il montera d’environ 5 % si les taux baissent de 1 %.
La duration est donc une approximation de l’élasticité du prix obligataire par rapport aux taux.
Ce concept est central dans la gestion de portefeuille obligataire, le pilotage de l’exposition au risque de taux, et la comparaison de différentes obligations.
Interprétation intuitive
Supposons deux obligations à maturité 10 ans :
- L’une verse 0 % de coupon (zéro coupon)
- L’autre verse 8 % de coupon annuel
La première a une duration de 10 (tout est payé à la fin). La seconde a une duration bien inférieure, disons 6 à 7 ans : les flux sont répartis dans le temps, donc “en moyenne”, l’argent est reçu plus tôt. Cela diminue la sensibilité aux taux.
Plus une obligation verse tôt et beaucoup, moins elle est sensible aux taux.
La duration de Macaulay : définition mathématique
La duration de Macaulay se définit comme la moyenne pondérée des échéances des flux futurs, les poids étant les valeurs actualisées des flux.
Exemple numérique
Prenons une obligation 3 ans, coupons 5 %, valeur nominale 100 €. Taux d’actualisation : 5 %.
| Année | Flux (€) | Valeur actuelle | Pondération × année |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 4,76 | 0,048 |
| 2 | 5 | 4,54 | 0,090 |
| 3 | 105 | 90,70 | 2,721 |
Duration de Macaulay : 0,048 + 0,090 + 2,721 = 2,86 ans
La duration modifiée
La duration modifiée est directement reliée à la sensibilité du prix de l’obligation à une variation du taux d’intérêt :
Si la duration de Macaulay est de 2,86 ans et r = 5 %, alors D_mod ≈ 2,72. Cela signifie qu’une hausse des taux de 1 % entraînera une baisse de 2,72 % du prix.
Résumé des propriétés fondamentales
- Une obligation zéro coupon a une duration égale à sa maturité
- Une obligation à coupons a une duration inférieure à sa maturité
- Plus les coupons sont élevés, plus la duration est faible
- Plus l’échéance est lointaine, plus la duration est longue
Duration d’un portefeuille
La duration d’un portefeuille est la moyenne pondérée des durations individuelles des lignes selon leur poids. C’est ce qu’on retrouve dans les reportings des fonds : “duration du portefeuille 6,2 ans”.
Qu’est-ce que la sensibilité ?
En finance, la sensibilité désigne la variation théorique d’un prix par rapport à un paramètre extérieur.
Pour les obligations, ce paramètre est généralement le taux d’intérêt. Une obligation a une sensibilité négative aux taux : elle baisse quand les taux montent, et monte quand les taux baissent.
La sensibilité est exprimée en valeur absolue :
- Une obligation de sensibilité 5 baissera de 5 % si les taux montent de 1 %
- Elle montera de 5 % si les taux baissent de 1 %
Formule de la sensibilité
La sensibilité est très proche de la duration modifiée :
Cette approximation est valable à condition que les taux varient peu. En cas de variation importante, il faut prendre en compte la convexité.
La sensibilité varie dans le temps
Elle n’est pas constante. Elle évolue avec la durée résiduelle, le niveau des taux, et la proximité du remboursement.
- Elle baisse avec le temps : la veille du remboursement, une obligation sera remboursée à 100 le lendemain, sa sensibilité tend vers 0.
- Elle baisse quand les taux montent : si les taux montent, l’obligation baisse un peu moins que prévu. Si les taux baissent, elle monte un peu plus. C’est l’effet de la convexité favorable.
Lien avec la convexité
La duration est une approximation linéaire de la variation du prix. En réalité, la courbe est convexe. La convexité affine l’analyse, surtout en cas de variation importante des taux. Mais dans 90 % des cas, la duration suffit.